Question

已知，如图，⊙D交y轴于A、B，交x轴于C，过C的直线：y=-2

2

x-8与y轴交于P．
（1）求证：PC是⊙D的切线；
（2）判断在直线PC上是否存在点E，使得S_△EOC=4S_△CDO，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）求证PC是⊙D的切线，可以先连接DC然后证明垂直即可，由CP所在直线的解析式，我们可得出C，P两点的坐标，就能得出DP，CP的长，只需要求出CD的长．根据勾股定理判定三角形DCP是否为直角三角形即可，那么关键是求出DC的长，有了D的坐标，也求出了C的坐标，那么CD的长就能求出来了．
（2）由于三角形OCD和OCE公用了一条OC边，那么比较它们的面积只需比较E，D两点的纵坐标的绝对值即可．根据S_△EOC=4S_△CDO，那么E点的纵坐标必为4或-4；根据CP的函数式，可以求出E点的横坐标，这样就能求出E点的坐标了．

解答：（1）解：∵PC的直线方程为：y=-2

2

x-8，
∴C（-2

2

，0），P（0，-8）．
∴OC=2

2

，OP=8，
PC=

OC2+OP2

=

8+64

=6

2

，
CD=

OD2+OC2

=

1+8

=3，
PD=OP+OD=8+1=9，
PD²=9²=81，CD²+PC²=9+72=81．
∴PD²=CD²+PC²．
∴△DCP为直角三角形，∠DCP=90°，DC⊥PC，CD为半径．
∴PC为⊙D的切线．

（2）解：设E（r，y），
∴S_△OCE=4S_△CDO．
∴

1

2

×OC×|y|=4×

1

2

OC×OD，
|y|=4OD=4．
∴y=±4，
E₁（-3

2

，4），E₂（-

2

，-4）．

点评：本题考查了一次函数和几何问题的综合应用，本题中根据点的坐标求出点与点的距离是解题的基础．