题目内容
（1997•武汉）已知：如图，⊙M交x轴正半轴于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，交y轴正半轴于C（0，y1）、D（0，y2）（y1＜y2）两点．（1）求证：∠CAO=∠DAM；
（2）若x1、x2是方程x2-px+q=0的两个根，y1、y2是方程y2-（q-1）y+（p-1）=0的两个根，且x1+y1+x2+y2=12，求p和q的值；
（3）过点A分别作DM、CM的垂线AE、AF，垂足分别为点E和F，根据（2），求证：△AEM≌△MFA．
分析：（1）延长AM交⊙M于点P，连接DP，利用圆内接四边形的性质，可得出结论；
（2）利用根与系数的关系可得：x1+x2=p，x1•x2=q；y1+y2=q-1，yl•y2=p-1，结合x1+y1+x2+y2=12，可得出一个p与q的关系式，再由切割线定理的推论也可得出一个q与p的关系式，联立求解可得出p、q的值．
（3）先求出各点的坐标，继而得出⊙M的半径，过点A分别作DM、CM的垂线AE、AF垂足分别为点E和F，延长DM交⊙M于点Q，连接AQ，分别求出EM、FA的长度，继而利用HL 可判定两直角三角形的全等．
（2）利用根与系数的关系可得：x1+x2=p，x1•x2=q；y1+y2=q-1，yl•y2=p-1，结合x1+y1+x2+y2=12，可得出一个p与q的关系式，再由切割线定理的推论也可得出一个q与p的关系式，联立求解可得出p、q的值．
（3）先求出各点的坐标，继而得出⊙M的半径，过点A分别作DM、CM的垂线AE、AF垂足分别为点E和F，延长DM交⊙M于点Q，连接AQ，分别求出EM、FA的长度，继而利用HL 可判定两直角三角形的全等．
解答：证明：（1）延长AM交⊙M于点P，连接DP，
由圆内接四边形的性质定理得：∠APD=∠ACO，
而∠CAO=90°-∠ACO，∠DAM=90°-∠APD，
∴∠CAO=∠DAM．
（2）由条件知：x1+x2=p，x1•x2=q；y1+y2=q-1，yl•y2=p-1，
∵x1+y1+x2+y2=12，
∴p•q-1=12 ①，
在⊙M中，由切割线定理的推论得：x1x2=y1y2，
即q=p-1 ②，
联立①②解得：p=7，q=6．
（3）证明：由（2）知A（1，0）、B（6，0），C（0，2），D（0，3），
则可求得⊙M的半径长为
，
过点A分别作DM、CM的垂线AE、AF垂足分别为点E和F，延长DM交⊙M于点Q，连接AQ，
则易得△ADE∽△QDA，
∴
=
，即DE=
，
而AD2=OD2+OA2=9+1=10，DQ=2×
=5
，
∴DE=
=
，EM=DM-DE=
，
同理可得：CF=
=
，FA=AC2-CF2=
，
∴EM=FA，
在Rt△AEM和Rt△MFA中，
．
∴Rt△AEM≌Rt△MFA（HL）．
由圆内接四边形的性质定理得：∠APD=∠ACO，
而∠CAO=90°-∠ACO，∠DAM=90°-∠APD，
∴∠CAO=∠DAM．
（2）由条件知：x1+x2=p，x1•x2=q；y1+y2=q-1，yl•y2=p-1，
∵x1+y1+x2+y2=12，
∴p•q-1=12 ①，
在⊙M中，由切割线定理的推论得：x1x2=y1y2，
即q=p-1 ②，
联立①②解得：p=7，q=6．
（3）证明：由（2）知A（1，0）、B（6，0），C（0，2），D（0，3），
则可求得⊙M的半径长为
5
| ||
| 2 |
过点A分别作DM、CM的垂线AE、AF垂足分别为点E和F，延长DM交⊙M于点Q，连接AQ，
则易得△ADE∽△QDA，
∴
| DE |
| AD |
| AD |
| DQ |
| AD2 |
| DQ |
而AD2=OD2+OA2=9+1=10，DQ=2×
5
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| 2 |
| 2 |
∴DE=
| 10 | ||
5
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3
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| 2 |
同理可得：CF=
| 5 | ||
5
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3
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| 2 |
∴EM=FA，
在Rt△AEM和Rt△MFA中，
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∴Rt△AEM≌Rt△MFA（HL）．
点评：本题考查了圆的综合题，涉及了根与系数的关系、圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解答此类题目要求同学们熟练掌握各定理的内容，并能将所学知识点融会贯通．
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