Question

已知，如图：⊙M交x轴于A（-

3

，0），B（

3

，0）两点，交y轴于C（3，0），D两点．
（1）求M点的坐标；
（2）P为弧BC上一动点，连接BC，PA，PC，当P点在弧BC上运动时．求证PC+PB=PA．

Answer 1

分析：（1）连接BD，由点A，B，C点的坐标，依据垂径定理，推出CD⊥AB，OA=OB，再根据勾股定理推出BC的长度，即可求出∠BCO的度数，然后根据圆周角定理推出∠CBD=90°，求得∠DBO=30°，再根据30°角的正切值推出OD的长度，即可推出OM的长度；
（2）在PA上截取PE=PB，连接AC，根据（1）中所推出的结论，首先求出△PMB和△ABC为等边三角形，然后通过求证△CPB和△AMB全等，即可推出AE=PC，最后通过等量代换即可推出结论．

解答：解：（1）连接BD，
∵CD⊥AB，B（

3

，0），C（3，0），
∴BC=2

3

，
∴∠OCB=30°，
∵CD为直径，
∴∠CBD=90°，
∴∠OBD=30°，
∴tan30°=

OD

OB

=

3

3

，
∴OD=1，
∴OM=

CD

2

-OD=1，
∴M点的坐标为（0，1），

（2）在PA上截取PE=PB，连接AC，
∵CD⊥AB，CD为直径，
∴OA=OB，

AD

=

BD

，
∴∠APB=2∠DCB，AC=BC，
∵∠DCB=30°，
∴∠APB=60°，∠CBA=60°，
∴∠CPA=60°，
∵PB=PE，
∴△PMB和△ABC为等边三角形，
∴∠AEB=120°，∠CPB=120°，BC=BA，
∵在△CPB和△AEB中，

AB=BC ∠CPB=∠AEB ∠BAE=∠BCP

，
∴△CPB≌△AEB（AAS），
∴AE=PC，
∵PA=EA+EP，
∴PA=PC+PB．

点评：本题主要考查圆周角定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数的定义、垂径定理，关键在于正确地作出辅助线，熟练运用相关的性质定理求出相关角的度数、角的相等关系、线段的相等关系．