Question

12．你能求（x-1）（x⁴⁹+x⁴⁸+…+x²+x+1）的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情况入手，从而找出规律．
（1）计算：（x-1）（x+1）=x²-1；（x-1）（x²+x+1）=x³-1；（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1；
由此猜想：（x-1）（x⁴⁹+x⁴⁸+…+x²+x+1）=x⁵⁰-1．
（2）利用（1）的结论，计算：2⁹⁹+2⁹⁸+…+2²+4．

Answer 1

分析 根据平方差公式，和立方差公式可得前2个式子的结果，利用多项式乘以多项式的方法可得出第3个式子的结果；从而总结出规律是（x-1）（x⁴⁹+x⁴⁸+…+x²+x+1）=x⁵⁰-1，根据上述结论计算下列式子即可．

解答 解：根据题意：（1）（x-1）（x+1）=x²-1；
（x-1）（x²+x+1）=x³-1；
（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1，
故（x-1）（x⁴⁹+x⁴⁸+…+x²+x+1）=x⁵⁰-1．
根据以上分析：

（2）∵（2-1）（2⁹⁹+2⁹⁸+…+2²+2+1）
=2¹⁰⁰-1，
∴2⁹⁹+2⁹⁸+…+2²+4
=2⁹⁹+2⁹⁸+…+2²+2+1+1
=2¹⁰⁰．
故答案是：（1）x³-1，x⁵⁰-1．

点评 主要考查了学生的分析、总结、归纳能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律．