Question

6．如图，已知l₁∥l₂∥l₃，相邻两条平行直线间的距离相等，△ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，且∠ACB=90°，∠CAB=30°，则tanα的值是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{5}$

Answer 1

分析 过点A作AD⊥l₁于D，过点B作BE⊥l₁于E，根据同角的余角相等求出∠CAD=∠BCE，然后证明△ACD和△CBE相似，列比例式求得CE，DE，得到AF，根据锐角的正切值等于对边比邻边求得结果．

解答 解：如图，过点A作AD⊥l₁于D，过点B作BE⊥l₁于E，反向延长EB交l₃于F，设l₁，l₂，l₃间的距离为1，
∵∠CAD+∠ACD=90°，
∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
∴△ACD∽△CEB，
∵∠CAB=30°，
∴$\frac{BC}{AC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{BE}{CD}$=$\frac{CE}{AD}$=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴CD=$\sqrt{3}$，CE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴AF=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
∴tanα=$\frac{BF}{AF}$=$\frac{\sqrt{3}}{5}$．
故选D．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．