Question

12．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，DB相交于点O．点E是OB上一点，DF⊥CE于点F．交OC于点G．求证：DE=AG．

Answer 1

分析 根据直角三角形的两锐角互余即可证得∠FCG=∠ODG，进而证明△OCE≌△ODG，根据全等三角形的对应边相等即可证得OE=OG，易得DE=AG．

解答 证明：在△CDE中，
∵OA⊥DE，DF⊥CE，
∴∠FCG+∠CGF=∠ODG+∠OGD=90°．
又∵∠CGF=∠OGD，
∴∠FCG=∠ODG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OC，
在△OCE和△ODG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠COE=∠DOG}\\{OC=OD}\\{∠OCE=∠ODG}\end{array}\right.$，
∴△OCE≌△ODG（ASA），
∴OE=OG．
∵OD=OA，
∴OE+OD=OG+OA，
即DE=AG．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，和正方形的性质，正确证明三角形全等是关键．