Question

18．一个二元码是由0和1组成的数字串x₁x₂…x_n（n为正整数），其中x_k（k=1，2，…，n）称为第k位码元，如：二元码01101的第1位码元为0，第5位码元为1．
（1）二元码100100的第4位码元为1；
（2）二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）．已知某种二元码x₁x₂…x₇的码元满足如下校验方程组：$\left\{\begin{array}{l}{x_2}⊕{x_3}⊕{x_6}⊕{x_7}=1\\{x_4}⊕{x_5}⊕{x_6}⊕{x_7}=1\\{x_1}⊕{x_3}⊕{x_5}⊕{x_7}=1\end{array}\right.$
其中运算⊕定义为：0⊕0=0，1⊕1=0，0⊕1=1，1⊕0=1．
①计算：0⊕1⊕1⊕0=0；
②现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了0101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于3．

Answer 1

分析 （1）在二元码100100中，找出第4个数字即可；
（2）①根据“运算⊕定义为：0⊕0=0，1⊕1=0，0⊕1=1，1⊕0=1”，一步步计算即可得出结论；
②将二元码0101101代入方程组，可得出错误出在x₂⊕x₃、x₁⊕x₃，结合仅有一个码元错误即可得出k=3．

解答 解：（1）在二元码100100中，第4个数字为1．
故答案为：1．
（2）①0⊕1⊕1⊕0=1⊕1⊕0=0⊕0=0．
故答案为：0．
②∵1⊕0⊕0⊕1=1⊕0⊕1=1⊕1=0，1⊕1⊕0⊕1=0⊕0⊕1=0⊕1=1，0⊕0⊕1⊕1=0⊕1⊕1=1⊕1=0，
∴校验后可知4、5、6、7正确，错误出在x₂⊕x₃、x₁⊕x₃．
∵一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误，
∴k=3．
故答案为：3．

点评 本题考查了二元一次方程组的应用以及新定义，解题的关键是：（1）明白码元的概念；（2）①熟读题意，弄清运算⊕定义；②将错误的二元码代入方程组找出错误出在x₂⊕x₃、x₁⊕x₃．