Question

如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AH⊥BC于H（H在边BC上），若BH=1，CH=2，则AH=

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：如图，过C作⊥AB，垂足为E交AH于F，由∠BAC=45°可以得到CE=AE，再根据已知条件可以证明△AFE≌△BCE，可以得到AF=BC=3，而∠FCH=∠DAC，又∠CHF=∠AHB=90°，由此可以证明△CHF∽△AHB，所以FH：HB=CH：AH，设FH长为x，则可建立关于x的方程，解方程即可求出FH，AH的长．

解答：解：如图，过C作CE⊥AB，垂足为E交AH于F；
则∠AEF=∠CEB=90°，
∵∠BAC=45°
∴CE=AE，
∵∠B+∠ECB=90°，∠B+∠EAF=90°，
∴∠EAF=∠ECB，
∴△AFE≌△BCE（ASA）
∴AF=BC=BH+CH=3，
又∵∠CHF=∠AHB=90°
∴△CHF∽△AHB
∴FH：BH=CH：AH，
设FH长为x
即x：1=2：（x+3）
解得：x=

-3± 17

2

（负值不合题意，舍去）
∴x=

-3+ 17

2

，即FH=

-3+ 17

2

，
∴AH=AF+FH=3+

-3+ 17

2

=

3+ 17

2

．
答：AH长为

3+ 17

2

点评：本题考查了三角形全等的判定和性质以及三角形相似的判定和性质，并通过设未知数列方程得出答案．