Question

如图，在正方形ABCD的对角线上取点E，使得∠BAE=15°，连接AE，CE．延长CE到F，连接BF，使得BC=BF．若AB=1，则下列结论：①AE=CE；②F到BC的距离为；
③BE+EC=EF；④；⑤．
其中正确的个数是（ ）

A．2个
B．3个
C．4个
D．5个

Answer 1

【答案】分析：根据正方形的性质推出AB=BC，∠ABD=∠CBD=45，证△ABE≌△CBE，即可判断①；过F作FH⊥BC于H，根据直角三角形的性质即可求出FH；过A作AM⊥BD交于M，根据勾股定理求出BD，根据三角形的面积公式即可求出高AM，根据三角形的面积公式求出即可．
解答：解：∵正方形ABCD，
∴AB=BC，∠ABD=∠CBD=45°，
∵BE=BE，
∴△ABE≌△CBE，
∴AE=CE，∴①正确；
∵过F作FH⊥BC于H，
∵BF=BC=1，
∴∠BFC=∠FCB=15°，
∴FH=BF=，∴②错误；
∵Rt△BHF中，
FH=，BF=1，
∴CF==2+
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴AE=CE，

在EF上取一点N，使BN=BE，
又∵∠NBE=∠EBC+∠ECB=45°+15°=60°，
∴△NBE为等边三角形，
∴∠ENB=60°，
又∵∠NFB=15°，
∴∠NBF=45°，
又∵∠EBC=45°，
∴∠NBF=∠EBC，
又∵BF=BC，∠NFB=∠ECB=15°，
可证△FBN≌△CBE，
∴NF=EC，
故BE+EC=EN+NF=EF，
∴③正确；
过A作AM⊥BD交于M，
根据勾股定理求出BD=，
由面积公式得：AD×AB=BD×AM，
AM==，
∵∠ADB=45°，∠AED=60°，
∴DM=，EM=，
∴S_△AED=DE×AM=+，∴④错误；
S_△EBF=S_△FBC-S_△EBC=×1×-×1×[1-]=，∴⑤正确．
故选B．
点评：本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行证明是解此题的关键．