Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC=5，OC=6

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，求另一直角边BC的长．

Answer 1

分析：过O作OF⊥BC，过A作AM⊥OF，根据正方形的性质得出∠AOB=90°，OA=OB，求出∠BOF=∠OAM，根据AAS证△AOM≌△BOF，推出AM=OF，OM=FB，求出四边形ACFM为矩形，推出AM=CF，AC=MF=5，得出等腰三角形三角形OCF，根据勾股定理求出CF=OF=6，求出BF，即可求出答案．

解答：解：
过O作OF⊥BC于F，过A作AM⊥OF于M，
∵∠ACB=90°，
∴∠AMO=∠OFB=90°，∠ACB=∠CFM=∠AMF=90°，
∴四边形ACFM是矩形，
∴AM=CF，AC=MF=5，
∵四边形ABDE为正方形，
∴∠AOB=90°，OA=OB，
∴∠AOM+∠BOF=90°，
又∵∠AMO=90°，
∴∠AOM+∠OAM=90°，
∴∠BOF=∠OAM，
在△AOM和△OBF中

∠OAM=∠BOF ∠AMO=∠OFB OA=OB

∴△AOM≌△OBF（AAS），
∴AM=OF，OM=FB，
∴OF=CF，
∵∠CFO=90°，
∴△CFO是等腰直角三角形，
∵OC=6

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，由勾股定理得：CF=OF=6，
∴BF=OM=OF-FM=6-5=1，
∴BC=6+1=7．

点评：本题考查了等腰直角三角形，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，有一定的难度．