Question

20．某商店购进一种商品，每件商品进价为30元，试销中发现：销售价格为36元/件时，每天销售28件；销售价格为32元/件时，每天销售36件．若这种商品的销售量y（件）与销售价格x（元）存在一次函数，请回答下列问题：
（1）求出y与x的关系式；
（2）设商店销售这种商品每天获利w（元），写出w关于x的函数关系式；
①当商店销售这种商品每天获利150元，销售价格定为多少比较合理；
②销售价格定为多少时，商店获利最大，最大利润是多少元？

Answer 1

分析 （1）设y与x的关系式为y=kx+b，根据销售价格为36元/件时，每天销售28件；销售价格为32元/件时，每天销售36件，利用待定系数法即可求出该关系式；
（2）根据“利润=（销售单价-进价）×销售数量”即可得出w关于x的函数关系式；①令w=150，求出x值，即可得出结论；②利用配方法得出w=-2（x-40）²+200，利用二次函数的性质即可解决最值问题．

解答 解：（1）设y与x的关系式为y=kx+b，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{36k+b=28}\\{32k+b=36}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=100}\end{array}\right.$，
∴y与x的关系式为y=-2x+100．
（2）由已知得：w=y（x-30）=-2x²+160x-3000．
①令y=150，即-2x²+160x-3000=150，
解得：x₁=35，x₂=45．
答：当商店销售这种商品每天获利150元，销售价格应定为35或45元．
②∵w=-2x²+160x-3000=-2（x-40）²+200，
∴当x=40时，w取最大值，最大值为200．
答：销售价格定为40元时，商店获利最大，最大利润是200元．

点评 本题考查了二次函数的应用、待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出y关于x的函数关系式；（2）根据数量关系找出y关于x的函数关系式；①令y=150求出x值；②根据二次函数的性质解决最值问题．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出函数关系式是关键．