Question

10．阅读理解：
提出问题：如图1，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC与△ABC和△DBC的面积之间有什么关系？探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：
当AP=$\frac{1}{2}$AD时（如图2）：
∵AP=$\frac{1}{2}$AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S_△ABP=$\frac{1}{2}$S_△ABD
∵PD=AD-AP=$\frac{1}{2}$AD，△CDP和△CDA的高相等
∴S_△CDP=$\frac{1}{2}$S_△CDA
∴S_△PBC=S_{四边形ABCD}-S_△ABP-S_△CDP=S_{四边形ABCD}-$\frac{1}{2}$S_△ABD-$\frac{1}{2}$S_△CDA
=S_{四边形ABCD}-$\frac{1}{2}$ （S_{四边形ABCD}-S_△DBC）-$\frac{1}{2}$ （S_{四边形ABCD}-S_△ABC）=$\frac{1}{2}$S_△DBC+$\frac{1}{2}$S_△ABC
（1）当AP=$\frac{1}{3}$AD时，探求S_△PBC与S_△ABC和S_△DBC之间的关系式并证明；
（2）当AP=$\frac{1}{6}$AD时，S_△PBC与S_△ABC和S_△DBC之间的关系式为：S_△PBC=$\frac{1}{6}$S_△DBC+$\frac{5}{6}$S_△ABC；
（3）一般地，当AP=$\frac{1}{n}$AD（n表示正整数）时，探求S_△PBC与S_△ABC和S_△DBC之间的关系为：S_△PBC=$\frac{1}{n}$S_△DBC+$\frac{n-1}{n}$S_△ABC；
（4）当AP=$\frac{b}{a}$AD（0≤$\frac{b}{a}$≤1）时，S_△PBC与S_△ABC和S_△DBC之间的关系式为：S_△PBC=$\frac{b}{a}$S_△DBC+$\frac{a-b}{a}$S_△ABC．

Answer 1

分析 （1）根据△ABP和△ABD的高相等，得到S_△ABP=$\frac{1}{3}$S_△ABD，根据△CDP和△CDA的高相等，得到S_△CDP=$\frac{1}{3}$S_△CDA，结合图形计算即可；
（2）仿照（1）的作法解答；
（3）根据AP=$\frac{1}{n}$AD，△ABP和△ABD的高相等，得到S_△ABP=$\frac{1}{n}$S_△ABD，PD=AD-AP=$\frac{n-1}{n}$AD，根据△CDP和△CDA的高相等，得到S_△CDP=$\frac{n-1}{n}$S_△CDA，整理即可；
（4）与（3）的解答方法类似，计算即可．

解答 解：（1）∵AP=$\frac{1}{3}$AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S_△ABP=$\frac{1}{3}$S_△ABD．
又∵PD=AD-AP=$\frac{1}{3}$AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S_△CDP=$\frac{1}{3}$S_△CDA．
∴S_△PBC=S_{四边形ABCD}-S_△ABP-S_△CDP
=S_{四边形ABCD}-$\frac{1}{3}$S_△ABD-$\frac{1}{3}$S_△CDA
=S_{四边形ABCD}-$\frac{1}{3}$（S_{四边形ABCD}-S_△DBC）-$\frac{2}{3}$（S_{四边形ABCD}-S_△ABC）
=$\frac{1}{3}$S_△DBC+$\frac{2}{3}$S_△ABC．
∴S_△PBC=$\frac{1}{3}$S_△DBC+$\frac{2}{3}$S_△ABC
（2）由（1）得，S_△PBC=$\frac{1}{6}$S_△DBC+$\frac{5}{6}$S_△ABC；
（3）S_△PBC=$\frac{1}{n}$S_△DBC+$\frac{n-1}{n}$S_△ABC；
∵AP=$\frac{1}{n}$AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S_△ABP=$\frac{1}{n}$S_△ABD．
又∵PD=AD-AP=$\frac{n-1}{n}$AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S_△CDP=$\frac{n-1}{n}$S_△CDA
∴S_△PBC=S_{四边形ABCD}-S_△ABP-S_△CDP
=S_{四边形ABCD}-$\frac{1}{n}$S_△ABD-$\frac{n-1}{n}$S_△CDA
=S_{四边形ABCD}-$\frac{1}{n}$（S_{四边形ABCD}-S_△DBC）-$\frac{n-1}{n}$（S_{四边形ABCD}-S_△ABC）
=$\frac{1}{n}$S_△DBC+$\frac{n-1}{n}$S_△ABC．
∴S_△PBC=$\frac{1}{n}$S_△DBC+$\frac{n-1}{n}$S_△ABC
（4）由（3）得，S_△PBC=$\frac{b}{a}$S_△DBC+$\frac{a-b}{a}$S_△ABC．

点评 本题考查的是三角形的面积的计算，掌握高相等的两个三角形的面积比等于底的比是解题的关键．