Question

15．已知，在平面直角坐标系中，点A（2018，0）、C（0，2016），以AC为对角线作正方形ABCD，则顶点D的坐标为（1，-1）或（2017，2017）．

Answer 1

分析 作BE⊥OA于E，BF⊥OC于F，DM⊥OA于M，DN⊥OC于N．△BCF≌△BAE，推出CF=AE，BF=BE，易知四边形BFOE是正方形，设边长为x，则有2016+x=2018-x，解得x=1，推出B（1，-1），同法可得D（2017，2017），由此即可解决问题．

解答 解：作BE⊥OA于E，BF⊥OC于F，DM⊥OA于M，DN⊥OC于N．
∵∠EBF=∠CBA=90°，
∴∠CBF=∠ABE，
在△BCF和△BAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BFC=∠BEA}\\{∠CBF=∠ABE}\\{BC=BA}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△BAE，
∴CF=AE，BF=BE，
易知四边形BFOE是正方形，设边长为x，
则有2016+x=2018-x，
解得x=1，
∴B（1，-1），
同理可证△DNC≌△DMA，
∴DN=DM，NC=AM，可得四边形DNOM是正方形，边长为2017，
∴D（2017，2017），
∴点D的坐标为（1，-1）或（2017，2017）．

点评 此题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、中点坐标公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．