Question

15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=2，BC=3，如果边AB上的点P，使得以P，A，D为顶点的三角形与P，B，C为顶点的三角形相似，这样的点P有3个．

Answer 1

分析 根据相似三角形的判定与性质，当若点A，P，D分别与点B，C，P对应，与若点A，P，D分别与点B，P，C对应，分别分析得出AP的长度即可．

解答 解：若点A，P，D分别与点B，C，P对应，即△APD∽△BCP，
∴$\frac{AD}{BP}$=$\frac{AP}{BC}$，
∴$\frac{2}{8-AP}$=$\frac{AP}{3}$，
∴AP²-8AP+6=0，
∴AP=4±$\sqrt{10}$，
若点A，P，D分别与点B，P，C对应，即△APD∽△BPC．
∴$\frac{AP}{BP}$=$\frac{AD}{BC}$，
∴$\frac{AP}{8-AP}$=$\frac{2}{3}$，
∴AP=$\frac{16}{5}$．
因此，点P的位置有三处，即在线段AP的长为4±$\sqrt{10}$、$\frac{16}{5}$．
故答案为：3．

点评 本此题考查了相似三角形的判定和性质，根据P点不同位置进行分析，解题时要注意一题多解的情况，要注意别漏解是解题关键．