Question

4．已知关于x的一元二次方程x²-（m-3）x-m=0
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为x₁、x₂，且x₁²+x₂²-x₁x₂=7，求m的值．

Answer 1

分析 （1）要证明方程有两个不相等的实数根，只要证明原来的一元二次方程的△的值大于0即可；
（2）根据根与系数的关系可以得到关于m的方程，从而可以求得m的值．

解答 （1）证明：∵x²-（m-3）x-m=0，
∴△=[-（m-3）]²-4×1×（-m）=m²-2m+9=（m-1）²+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）∵x²-（m-3）x-m=0，方程的两实根为x₁、x₂，且x₁²+x₂²-x₁x₂=7，
∴$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-3{x}_{1}{x}_{2}=7$，
∴（m-3）²-3×（-m）=7，
解得，m₁=1，m₂=2，
即m的值是1或2．

点评 本题考查根与系数的关系、根的判别式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用方程的思想解答．