Question

13．如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 证明△BEF∽△DAF，得出EF=$\frac{1}{2}$AF，EF=$\frac{1}{3}$AE，由矩形的对称性得：AE=DE，得出EF=$\frac{1}{3}$DE，设EF=x，则DE=3x，由勾股定理求出DF=$\sqrt{D{E}^{2}-E{F}^{2}}$=2$\sqrt{2}$x，再由三角函数定义即可得出答案．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵点E是边BC的中点，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AD，
∴△BEF∽△DAF，
∴$\frac{EF}{AF}=\frac{BE}{AD}$=$\frac{1}{2}$，
∴EF=$\frac{1}{2}$AF，
∴EF=$\frac{1}{3}$AE，
∵点E是边BC的中点，
∴由矩形的对称性得：AE=DE，
∴EF=$\frac{1}{3}$DE，设EF=x，则DE=3x，
∴DF=$\sqrt{D{E}^{2}-E{F}^{2}}$=2$\sqrt{2}$x，
∴tan∠BDE=$\frac{EF}{DF}$=$\frac{x}{2\sqrt{2}x}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$；
故选：A．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．