Question

6．先分解因式（1）（2）（3），再解答后面的问题．
（1）1+a+a（1+a）．
（2）1+a+a（1+a）+a（1+a）²
（3）1+a+a（1+a）+a（1+a）²+a（1+a）³
问题：
I．先探索上述分解因式的规律，再写出：1+a（1+a）+a（1+a）²+a（1+a）³+…+a（1+a）²⁰¹⁴分解因式的结果是（1+a）²⁰¹⁵．
Ⅱ．请按上述方法分解因式：1+a（1+a）+a（1+a）²+a（1+a）³+…+a（1+a）ⁿ（n为正整数）．

Answer 1

分析 （1）提取公因式（1+a）即可得出答案；
（2）提取公因式（1+a），再结合同底数幂的乘法运算法则即可得出答案；
（3）提取公因式（1+a）再结合同底数幂的乘法运算法则即可得出答案；
I．根据以上规律即可得出运算规律，得出答案即可；
Ⅱ．根据以上规律即可得出运算规律，得出答案即可．

解答 解：（1）原式=（1+a）（1+a）=（1+a）²；
（2）原式=（1+a）[1+a+a（1+a）]=（1+a）（1+a）（1+a）=（1+a）³；
（3）原式=（1+a）[1+a+a（1+a）+a（1+a）²]
=（1+a）（1+a）[1+a+a（1+a）]
=（1+a）²（1+a）（1+a）
=（1+a）⁴，
Ⅰ．（1+a）²⁰¹⁵，
故答案为：（1+a）²⁰¹⁵；
Ⅱ．原式=（1+a）[1+a+a（1+a）+a（1+a）²+…+a（1+a）^n-1]
=（1+a）（1+a）[1+a+a（1+a）+a（1+a）²+…+a（1+a）^n-2]
=（1+a）²（1+a）[1+a+a（1+a）+a（1+a）²+…+a（1+a）^n-3]
=（1+a）^n-1（1+a）（1+a）=（1+a）ⁿ⁺¹．

点评 此题主要考查了提取公因式法分解因式，根据运算结果得出规律是解题的关键．