Question

【题目】如图，正方形的边长为2，为的中点，是延长线上的一点，连接交于点，．

（1）求的值；

（2）如图1，连接，在线段上取一点，使，连接，求证：；

（3）如图2，过点作于点，在线段上取一点，使，连接，．将绕点旋转，使点旋转后的对应点落在边上．请判断点旋转后的对应点是否落在线段上，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析（3）点旋转后的对应点不落在线段上

【解析】

（1）设，则，根据得到，故，求得，求得AF,AP的值即可求解；（2）在上截取，

证得，再利用勾股定理求出，得到，再利用平行得到，则，即可得到，故

（3）若点在上，以原点，为轴，为建立平面直角坐标系，由旋转的性质可得，，，求出直线解析式为：，设，利用勾股定理求出，得点，由点，得出，

于是点旋转后的对应点不落在线段上.

（1）设，

∴，

∵四边形是正方形

∴，

∴，

∴，

即.

∴，

∴，

∴，

∴.

（2）在上截取，

∵，，，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∵点是中点，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴，且，，

∴，

∴，

∴.

（3）若点在上，如图，以原点，为轴，为建立平面直角坐标系，

∵，，

∴.

由旋转的性质可得，，，

∵点，点，

∴直线解析式为：，

设点，

∴，

∴，

∴点，

∵点，

∴.

∴点旋转后的对应点不落在线段上.