题目内容

已知平面直角坐标系中，B（-3，0），A为y轴正半轴上一动点，半径为 $数学公式$ 的⊙A交y轴于点G、H（点G在点H的上方），连接BG交⊙A于点C．

（1）如图①，当⊙A与x轴相切时，求直线BG的解析式；
（2）如图②，若CG=2BC，求OA的长；
（3）如图③，D为半径AH上一点，且AD=1，过点D作⊙A的弦CE，连接GE并延长交x轴于点F，当⊙A与x轴相离时，给出下列结论：① $数学公式$ 的值不变；②OG•OF的值不变．其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪一个结论正确，证明正确的结论并求出其值．

解：（1）⊙A与x轴相切，OA= $\text{[math]}$ ，G（0，5）．
设直线BG的解析式为：y=kx+b，将B、G两点的坐标代入一次函数关系式y=kx+b中，
$\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$
得出直线BG的解析式为：y= $\text{[math]}$ +5，
y= $\text{[math]}$ +5．

（2）过点C作CM⊥GH于点M，则CM∥BO，
∴△GCM∽△GBO，
∴ $\text{[math]}$ ，
∵CG=2BC，B0=3，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴CM=2．
设GM=x，x_l=1，x₂=4，
∴MG=1或MG=4．
GO=6或GO= $\text{[math]}$ ，
当CO= $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，
则A点在y轴的负半轴，不合题意，故舍．
∴GO=6．∴OA=GO-AG= $\text{[math]}$ ．

（3） $\text{[math]}$ 的值不变，其值为7．
证明：连接CH、EH，作DN⊥EG于点N，则DN∥HE．
OG=OB• $\text{[math]}$ ①，
同理OG=FO• $\text{[math]}$ ②，
$\text{[math]}$ 的值不变，其值为7．
分析：（1）根据题意应先求出G点的坐标，再将B、G两点的坐标代入一次函数关系式y=kx+b中；
（2）由题意需过点C作CM⊥GH于点M，再利用比例线段求解；
（3）需连接CH、EH，作DN⊥EG于点N，再求 $\text{[math]}$ 的值．
点评：此题作为压轴题，综合考查函数、方程与圆的切线，三角形相似的判定与性质等知识．