Question

如图，已知平面直角坐标系中三个点A（-8，0）、B（2，0）、C(

16

3

，0)，O为坐标原点．以AB为直径的⊙M与y轴的负半轴交于点D．
（1）求直线CD的解析式；
（2）求证：直线CD是⊙M的切线；
（3）过点A作AE⊥CD，垂足为E，且AE与⊙M相交于点F，求一个一元二次方程，使它的两个根分别是AE和AF．

Answer 1

分析：（1）已知A、B的坐标就可以求出直径AB的长，弦心距MB的长，根据垂径定理就可以求出BD的长，即得到D的坐标．根据待定系数法就可以求出CD的解析式．
（2）连接MD，根据M，C，D的坐标就可以得△CDM的三边的长，根据勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形．
（3）易证△CDM∽△CEA，根据相似三角形的对应边的比相等，可以求出AE，再证明Rt△CDM∽Rt△BFA，就可以得到AF，则所求的一元二次方程就可以得到．

解答：（1）解：∵A（-8，0），B（2，0），
∴⊙M的圆心为（-3，0），且⊙M的半径为5．
连接MD．
在Rt△OMD中，
OD=

MD2-OM2

=

52-32

=4，
∴D（0，-4）．  （2分）
设所求直线CD的解析式为y=kx+b，则由C（

16

3

，0）、D（0，-4）两点，
得

16 3 k+b=0 b=-4

，
解得

k= 3 4 b=-4

．
故所求直线CD的解析式为y=

3

4

x-4． （4分）

（2）证明：在Rt△CDO中，CD²=OD²+OC²=4²+（

16

3

）²=

400

9

．
在△CDM中，MC=3+

16

3

=

25

3

，DM=5，
∴DM²+CD²=25+

400

9

=

625

9

．
又MC2=(

25

3

)2=

625

9

，
∴MD²+CD²=MC²．
∴△CDM是直角三角形，且
∠MDC=90°，CD经过半径MD的外端点D，
∴直线CD是⊙M的切线．  （6分）

（3）解：由已知，AE⊥CD，由（2），MD⊥CD，
∴MD∥AE，
∴△CDM∽△CEA．
∴

CM

CA

=

DM

AE

，即

25 3

8+ 16 3

=

5

AE

，解得AE=8．（7分）
连接BF．则∠AFB=90°．
又∠MDC=90°，∠CMD=∠CAE，
∴Rt△CDM∽Rt△BFA．
∴

CM

MD

=

BA

AF

，即

25 3

3

=

10

AF

，解得AF=6．
故所求的一个一元二次方程是x²-14x+48=0．（9分）

点评：本题主要考查了待定系数法求函数解析式，以及相似三角形的性质，相似三角形的对应边的比相等．