Question

19．如图，把正△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC的面积的一半，若AB=$\sqrt{2}$，则此三角形移动的距离A A′是$\sqrt{2}$-1．

Answer 1

分析 根据题意可知△ABC与阴影部分为相似三角形，且面积比为2：1，所以AB：A′B=$\sqrt{2}$：1，推出A′B=1，从而得到AA′的长．

解答 解：∵△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，
∴AC∥A′C′，
∴△ABC∽△A′BD，
∴$\frac{{S}_{△A′BD}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{A′B}{AB}$）²=$\frac{1}{2}$，
∴AB：A′B=$\sqrt{2}$：1，
∵AB=$\sqrt{2}$，
∴A′B=1，
∴AA′=$\sqrt{2}$-1．
故答案为$\sqrt{2}$-1．

点评 本题主要考查相似三角形的判定和性质、平移的性质，关键在于求证△ABC与阴影部分为相似三角形．