Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，BD⊥AD．

（1）求证：四边形BEDF是菱形；

（2）作AG⊥CB于G，若AD＝1，AG＝2，求sinC的值；

（3）若（2）中的四边形AGCD为一不可卷折的板材，问该板材能否通过一直径为1.8的圆洞门？请计算说明．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）$\frac{2 \sqrt{5}}{5}$；（3）该板材可以通过直径是1.8的圆洞口

【解析】

（1）根据平行线的判定定理，证明对角线互相垂直的平行四边形是平行四边形是菱形，即可判断；

（2）首先可以证得：四边形AGBD是矩形，然后根据勾股定理即可求解；

（3）利用三角函数求得GH的长度，然后与1.8比较大小，即可判断．

（1）证明：在平行四边形ABCD中，DC＝AB，DC∥AB，

∴E，F分别是AB，CD的中点，

∴DF＝BE，DF∥BE，

∴四边形BEDF是平行四边形，

又∵BD⊥AD，

所以DE＝AB＝BE，

∴四边形BEDF是菱形；

（2）由题意：DB⊥BC，

∴DB∥AC，又AD∥CG，

∴四边形AGBD是矩形，

∴DB＝AG＝2．

在平行四边形ABCD中，BC＝AD＝1，

∴CD＝，

∴sinC＝；

（3）由（2）知，BG＝AD＝BC＝1，

∴GC＝2，

∴AG＝GC＝2＞1.8，

作GH⊥CD于H，

在直角△GCH中，GH＝GCsinC＝2×≈1.79＜1.8，

∴四边形能夹在平行于CD，且两者之间距离不足1.8的平行线之间．

∴该板材可以通过直径是1.8的圆洞口．