题目内容

如图1，Rt△ABC中，斜边AB在x轴上，点C在y轴上，且OC=2，OA：OB=1：4，抛物线y=ax²+bx+c经过A、B、C三点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若直线y=x+b与Rt△ABC相交，所截得的三角形面积是原Rt△ABC面积的 $数学公式$ ，求b的值；
（3）将△OAC绕原点O逆时针旋转90°后得到△OEF，如图2，再将△OEF绕平面内某点旋转180°后得△MNQ（点M、N、Q分别与点E、F、O对应），使点M，N在抛物线上，求点M，N的坐标．

解：（1）∵∠ACB=90°，OC⊥AB，
∴△OAC∽△GCF．
∴ $\text{[math]}$ ，即OC²=OA•OB
∵OA：OB=1：4，OC=2
∴OA=1，OB=4
∴A（-1，0），B（4，0）
设抛物线的解析式是y=a（x+1）（x-4），
把C（0，2）坐标代入
得2=a（0+1）（0-4），a=- $\text{[math]}$ ，
∴抛物线的解析式是y=- $\text{[math]}$ （x+1）（x+4）=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+2．

（2）由B（4，0）、C（0，2）得直线BC解析式为y=- $\text{[math]}$ x+2；
当直线y=x+b过点A时，b=1，由 $\text{[math]}$ ，
得交点H（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
则S_△ABH= $\text{[math]}$ ×5× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ×5
S_△ACH=S_△ABC-S_△ABH= $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ×5
∴直线y=x+b只能与BC相交．
直线y=x+b与x轴交于点G（-b，0），BG=4+b，
解方程组 $\text{[math]}$ ．
得H（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
根据题意得 $\text{[math]}$ （4+b）× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ×（ $\text{[math]}$ ×5×2）
解得b=-1或b=-7

经检验，b=-7都是原方程的根，不符合题意舍去．
∴b=-1．

（3）根据题意得MQ∥OE，NQ∥OF
且MQ=OE=1，NQ=OF=2，
设M（t， $\text{[math]}$ ），
则N（t+2， $\text{[math]}$ ）
于是 $\text{[math]}$ -（ $\text{[math]}$ t）=1
∴M（1，3），N（2，1）
分析：（1）已知了OC的长，OA，OB的比例关系，可直接用射影定理求出OA，OB的长，即可得出A，B，C三点的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式．
（2）可先判断直线y=x+b与△ABC的哪个边相交，可求出直线过A点时，分△ABC的两部分的面积各为多少，以此可判断出直线与△ABC的哪条直角边相交，然后求出直线y=x+b与三角形两边的交点，然后根据直线分△ABC的两部分的面积来求出b的值．
（3）根据旋转的性质可知：MQ=OE，而MQ的值为M、N两点纵坐标的差，可据此来求两点的坐标．
点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形旋转变换、三角形相似、函数图象的交点的求法，图形面积的求法等知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生数形结合的数学思想方法．