Question

在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，且BC=2．以CD为直径作⊙O′交AD于点E，过点E作EF⊥AB于点F．建立如图所示的平面直角坐标系，已知A、B两点坐标分别为A（2，0）、B（0，）．
（1）求C、D两点的坐标；
（2）求证：EF为⊙O′的切线；
（3）将梯形ABCD绕点A旋转180°到A′B′C′D′，直线CD上是否存在点P，使以点P为圆心，PD为半径的⊙P与直线C′D′相切？如果存在，请求出P点坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）解：连接CE，如图，
∵CD是⊙O′的直径，
∴CE⊥x轴，
∵四边形ABCD为等腰梯形ABCD，
∵EO=BC=2，
CE=BO=，
DE=AO=2
∴DO=4，
∴C（）D（-4，0）；

（2）证明：连接O′E，如图，在⊙O′中，
∵O′D=O′E，
∴∠O′DE=∠1，
在等腰梯形ABCD中，∠CDA=∠BAD
∴∠1=∠BAD
∴O′E∥BA
又∵EF⊥BA
∴O′E⊥EF
∴EF为⊙O′的切线．

（3）存在．理由如下：
过A作AM⊥CD于M，且交C′D′于N
∵梯形A′B′C′D′与梯形ABCD关于点A成中心对称
∴C′D′∥CD，
∴AN⊥C′D′且AM=AN，
在Rt△CDE中，CE=，DE=2，
∴∠D=60°
在Rt△ADM中，
AM=AD•sinD=[2-（-4）]•sin60°=，
∴MN=．
设点P存在，则PD=MN=，
作PQ⊥x轴于点Q，
∴PQ=PD•sinD=6•=9，
DQ=PD•cosD=6•=3，
①若点P在DC的延长线上，
∴OQ=DQ-DO=3-4，
∴P（，9）．
②若点P在CD的延长线上，
∴OQ=3+4，
∴P（，-9）．
∴在直线CD上存在点P（，9）和P（，-9），使以点P为圆心，PD为半径的⊙P与直线C′D′相切．
分析：（1）连接CE，根据圆周角定理的推论得到CE⊥x轴，再根据等腰梯形的性质得到EO=BC=2，CE=BO=，DE=AO=2，即可得到C点和D点坐标；
（2）连接O′E，由半径相等得到∠O′DE=∠1，再根据等腰梯形的性质得到∠CDA=∠BAD，则∠1=∠BAD，得到O′E∥BA，于是有O′E⊥EF，根据切线的判定定理即可得到结论；
（3）过A作AM⊥CD于M，且交C′D′于N，根据中心对称的性质得到C′D′∥CD，AN⊥C′D′且AM=AN，在Rt△CDE中，CE=，DE=2，得到∠D=60°，在Rt△ADM中，
根据含30度的直角三角形三边的关系得到AM=，MN=．根据切线的性质得到PD=MN=，作PQ⊥x轴于点Q，再根据含30度的直角三角形三边的关系可计算出PQ=9，DQ=3，然后分类推论：①若点P在DC的延长线上，②若点P在CD的延长线上，分别求出OQ，即可得到P点坐标．
点评：本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和圆周角定理的推论以及中心对称的性质．