Question

【题目】如图1，小明用一张边长为的正三角形硬纸板设计一个无盖的正三棱柱糖果盒，从三个角处分别剪去一个形状大小相同的四边形，其一边长记为，再折成如图2所示的无盖糖果盒，它的容积记为．

（1）关于的函数关系式是__________，自变量的取值范围是__________．

（2）为探究随的变化规律，小明类比二次函数进行了如下探究：

①列表：请你补充表格中的数据：

	0	0．5	1	1．5	2	2．5	3
	0	3．125	________	3．375	________	0．625	0

②描点：请你把上表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点；

③连线：请你用光滑的曲线顺次连接各点．

（3）利用函数图象解决：

①该糖果盒的最大容积是__________；

②若该糖果盒的容积超过，请估计糖果盒的底边长的取值范围．（保留一位小数）

Answer 1

【答案】（1）（1），；（2）①表格见解析；②描点见解析；③连线见解析；（3）①4；②.

【解析】

（1）根据正三棱柱的体积公式可以列出y关于x的函数表达式，根据x的实际意义可直接分析出其取值范围；
（2）①分别将x=1和2代入函数关系式可求出y的值；②根据表内数据可在平面直角坐标系上描点；③可直接用平滑曲线连接；
（3）根据图象即可得到结论．

解：（1）∵无盖糖果盒的高为，a=6-2x，
∴底面正三角形的面积为,

,
故答案为：y=x（3-x）2，0＜x＜3；

（2）①列表：补充表格中的数据；

x	0	0.5	1	1.5	2	2.5	3
y			4		2

②描点：请你把上表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点；

③连线：用光滑的曲线顺次连接各点．

（3）①该糖果盒的最大容积是4；
②由图象可知：0.27＜x＜2，
因为a=6-2x，
所以2＜a＜5.5．
故答案为：4；2＜a＜5.5．

【点晴】

本题考查了二次函数的应用，函数的性质，画函数图象的步骤列表、描点、连线，以及数形结合思想的运用等，解题关键是要熟练掌握函数的定义及数形结合的思想．