Question

【题目】如图，△DEF由△ABC平移得到，∠DFE=∠CDF=30°，∠DEF=90°，BE⊥DF于点B．连接CE，AB=3．

（1）求证：四边形ACDF为矩形

（2）求线段CE的长和△CEF的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）CE=，S△CEF=

【解析】

（1）先证明四边形ACFD为平行四边形，再结合∠CFD=90°得到结论；

（2）作EG⊥CF的延长线于点G，利用矩形的性质证明四边形ABED为平行四边形，从而证明四边形BEGF为矩形，得到FG=BE，EG=BF，利用三角形面积得到BE，再利用勾股定理得到CG和EG，从而算出CE，最后利用S△CEF=算出结果.

解:（1）证明：∵△DEF由△ABC平移得到

∴DF∥AC，即四边形ACFD为平行四边形

∵CF⊥DF，

∴∠CFD=90°，

∴平行四边形ACDF为矩形；

（2）如图所示：作EG⊥CF的延长线于点G．

∵△DEF由△ABC平移得到，四边形ACDF为矩形，

∴DE∥AB，

即四边形ABED为平行四边形，

∵DF经过点B．

∴∠ADF=∠DBE=90°，AD∥BE

同理可得∠CFB=∠FBE=90°，CF∥BE

∵∠CFB+∠EBF=180°，EG⊥CF

∴∠EBF=∠FBE=∠EGF=90°

∴四边形BEGF为矩形，FG=BE，EG=BF

∵∠DFE=∠CDF=30°，∠DEF=90°

∴DF=2DE=6，

在Rt△DEF中：EF==

∵S△DEF==

∴BE==，

在Rt△BEF中：BF==,

∴CG=CF+FG=2BE=，EG=,

∴在Rt△CEG中：CE=

∴S△CEF==.