Question

【题目】如图，一个二次函数的图象经过点A（0，1），它的顶点为B（1，3）．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）过点A作AC⊥AB交抛物线于点C，点P是直线AC上方抛物线上的一点，当△APC面积最大时，求点P的坐标和△APC的面积最大值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣2x2+4x+1；（2）S△APC最大值为，此时P(,)

【解析】

（1）根据题意设这个二次函数的表达式为y＝a(x﹣1)2+3，将A(0,1)代入解方程即可求解；

（2）直线AB与x轴交于点D，直线AC与x轴交于点E,先求得直线AC的解析式，即可求得抛物线和直线AC的交点C的坐标，过P作PQ∥y轴交AC于Q，根据抛物线解析式和直线AC的解析式设出P，Q点坐标，横坐标用t表示，即可表示出PQ，根据S△APC＝PQ|xC﹣xA|，得出关于t的二次函数，化为顶点式，即可得到当t为何值时，S△APC有最大值．

（1）∵抛物线的顶点为B(1,3)

∴设这个二次函数的表达式为y＝a(x﹣1)2+3

∵二次函数的图象经过点A(0,1)

∴a(0﹣1)2+3=1

解得：a＝﹣2

∴二次函数的表达式为y＝-2(x﹣1)2+3，即y＝﹣2x2+4x+1

故答案为：y＝﹣2x2+4x+1

（2）直线AB与x轴交于点D，直线AC与x轴交于点E，如图所示

∵A(0,1)，B(1,3)

设直线AB的解析式为y=kx+b

∴

∴y=2x+1

令2x+1=0

解得x=

∴OD=

，

∵AC⊥AB

∴∠DAE=90°

∴

∴

解得OE=2

∴E(2,0)

设直线AC的解析式为y＝mx+n

∵直线AC经过A点，E点

∴

∴

∴直线AC的解析式为y＝x+1

令x+1=﹣2x2+4x+1

解得：或

∴C(,)

过P作PQ∥y轴交AC于Q

设P(t,﹣2t2+4t+1)，则Q(t,t+1)

∴PQ＝(﹣2t2+4t+1)﹣(t+1)＝﹣2t2+t

∴S△APC＝PQ|xC﹣xA|＝(﹣2t2+t)(﹣0)＝﹣(t﹣)2+

∴当t＝时，S△APC有最大值，此时，P(,)

故答案为：S△APC最大值为，此时P(,)