Question

观察下面的变形规律：

1

1×2

=1-

1

2

；

1

2×3

=

1

2

-

1

3

；

1

3×4

=

1

3

-

1

4

；…
解答下面的问题：
（1）若n为正整数，请你猜想

1

n(n+1)

=

 

；
（2）证明你猜想的结论；
（3）求和：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2009×2010

．

Answer 1

分析：（1）根据所给的等式，进行推而广之即可；
（2）根据分式的加减运算法则进行证明；
（3）根据（2）中证明的结论，进行计算．

解答：（1）解：

1

n

-

1

n+1

；

（2）证明：右边=

1

n

-

1

n+1

=

n+1

n(n+1)

-

n

n(n+1)

=

n+1-n

n(n+1)

=

1

n(n+1)

=左边，
所以猜想成立．

（3）原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2009

-

1

2010

=1-

1

2010

=

2009

2010

．

点评：此题考查了异分母的分式相减的运算法则．