Question

观察下面的变形规律：

1

1×2

=1-

1

2

；

1

2×3

=

1

2

-

1

3

；

1

3×4

=

1

3

-

1

4

；…

1

2013×2014

=

1

2013

-

1

2014

…
解答下面的问题：
（1）试求

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2013×2014

；
（2）若n为正整数，请你猜想

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
（3）请你根据变形规律进行适当变形，求

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

2013×2015

．

Answer 1

分析：（1）根据上述等式得出拆项规律，将原式变形计算即可得到结果；
（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（3）利用得出的规律将原式变形，计算即可得到结果．

解答：解：（1）原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2013

-

1

2014

=1-

1

2014

=

2013

2014

；
（2）归纳总结得：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
（3）根据题意得：原式=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2013

-

1

2015

）=

1

2

（1-

1

2015

）=

1007

2015

．
故答案为：（2）

1

n

-

1

n+1

；

点评：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．