题目内容
17．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，过点A作AD⊥AB，且AD=AB，过点D作DE∥BC，交CA的延长线于点E，连接BD（1）已知BC=2，EC=6，求DE的长度；
（2）如图2，点F是BD的中点，连接EF和CF，求证：△EFC为等腰直角三角形；
（3）将直线BD绕点F旋转，使它与射线BC、射线EF分别相交于点G、H，如图3，试猜想EH、EC、CG之间有何数量关系，直接写出结论．
分析 （1）只要证明△ADE≌△ABC即可解决问题；
（2）如图2中，延长EF交CB的延长线于M．只要证明△EFD≌△MFB，△ECM是等腰直角三角形即可；
（3）结论：EH=CG+CE．易证△EHF≌△MGF，可得EH=GM，由（2）可知，CE=CM，可得GM=CG+CM=CG+CE；
解答 解：（1）如图1中，
∵∠ACB=90°，ED∥BC，
∴∠E+∠ACB=180°，
∴∠E=90°，∵∠DAB=90°，
∴∠DAE+∠BAC=90°，∠BAC+∠ABC=90°，
∴∠DAE=∠ABC，
在△ADE和△BAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠C=90°}\\{∠DAE=∠ABC}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△ABC．
∴DE=AC，AE=BC=2，
∵EC=6，
∴AC=EC-AE=4，
∴DE=AC=4．
（2）如图2中，延长EF交CB的延长线于M．
∵DE∥CM，
∴∠DEF=∠M．
∵∠EFD=∠MFB，DF=BF，
∴△EFD≌△MFB，
∴DE=BM．EF=FM，
∵AC=DE，EA=BC，
∴CE=CM，∵∠ECM=90°，
∴CF⊥EM，CF=EF=FM，
∴△EFC都是等腰直角三角形．
（3）延长EF交CB的延长线于M．
易证△EHF≌△MGF，
∴EH=GM，
由（2）可知，CE=CM，
∴GM=CG+CM=CG+CE．
∴EH=CG+CE．
点评 本题考查几何变换、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
练习册系列答案
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