Question

已知∠MAN，AC平分∠MAN．

(1)在图1中，若∠MAN＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°，求证：AB＋AD＝AC；

(2)在图2中，若∠MAN＝120°，∠ABC＋∠ADC＝180°，则(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

(3)在图3中：

①若∠MAN＝60°，∠ABC＋∠ADC＝180°，则AB＋AD＝________AC；

②若∠MAN＝α(0°＜α＜180°)，∠ABC＋∠ADC＝180°，则AB＋AD＝________AC(用含α的三角函数表示)，并给出证明．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)证明：∵AC平分∠MAN，∠MAN＝120°， 　　∴∠CAB＝∠CAD＝60°， 　　∵∠ABC＝∠ADC＝90°， 　　∴∠ACB＝∠ACD＝30°，　　1分 　　∴AB＝AD＝AC，　　2分 　　∴AB＋AD＝AC．　　3分 　　(2)成立．　　4分 　　证法一：如图，过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F． 　　∵AC平分∠MAN，∴CE＝CF． 　　∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠CDE＝180°， 　　∴∠CDE＝∠ABC，　　5分 　　∵∠CED＝∠CFB＝90°，∴△CED≌△CFB，∴ED＝FB，　　6分 　　∴AB＋AD＝AF＋BF＋AE－ED＝AF＋AE，由(1)知AF＋AE＝AC， 　　∴AB＋AD＝AC　　7分 　　证法二：如图，在AN上截取AG＝AC，连接CG． 　　∵∠CAB＝60°，AG＝AC，∴∠AGC＝60°，CG＝AC＝AG，　　5分 　　∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠CBG＝180°， 　　∴∠CBG＝∠ADC，∴△CBG≌△CDA，　　6分 　　∴BG＝AD， 　　∴AB＋AD＝AB＋BG＝AG＝AC，　　7分 　　(3)①；　　8分 　　②．　　9分 　　证明：由(2)知，ED＝BF，AE＝AF， 　　在Rt△AFC中，，即， 　　∴，　　10分 　　∴AB＋AD＝AF＋BF＋AE－ED＝AF＋AE＝2，　　11分