Question

已知∠MAN，AC平分∠MAN．
（1）在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求证：AB+AD=AC；
（2）在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据含30°角的直角三角形的性质进行证明；
（2）作CE⊥AM、CF⊥AN于E、F．根据角平分线的性质，得CE=CF，根据等角的补角相等，得∠CDE=∠ABC，再根据AAS得到△CDE≌△CBF，则DE=BF．再由∠MAN=120°，AC平分∠MAN，得到∠ECA=∠FCA=30°，从而根据30°所对的直角边等于斜边的一半，得到AE=

1

2

AC，AF=

1

2

AC，等量代换后即可证明AD+AB=AC仍成立．

解答：（1）证明：∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN，
∴∠CAD=∠CAB=60°．
又∠ABC=∠ADC=90°，
∴AD=

1

2

AC，AB=

1

2

AC，
∴AB+AD=AC．

（2）解：结论仍成立．理由如下：
作CE⊥AM、CF⊥AN于E、F．则∠CED=∠CFB=90°，
∵AC平分∠MAN，
∴CE=CF．
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDE=180°
∴∠CDE=∠ABC，
在△CDE和△CBF中，

∠CDE=∠CBF ∠CED=∠CFB CE=CF

，
∴△CDE≌△CBF（AAS），
∴DE=BF．
∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN，
∴∠MAC=∠NAC=60°，∴∠ECA=∠FCA=30°，
在Rt△ACE与Rt△ACF中，则有AE=

1

2

AC，AF=

1

2

AC，
则AD+AB=AD+AF+BF=AD+AF+DE=AE+AF=

1

2

AC+

1

2

AC=AC．
∴AD+AB=AC．

点评：此题综合考查了角平分线的性质、全等三角形的性质和判定及含30°角的直角三角形的知识；作出辅助线是正确解答本题的关键．注意：在探索（2）的结论的时候，能够运用（1）的结论．