Question

已知∠MAN，AC平分∠MAN．
（1）在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求证：AB+AD=AC；
（2）在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）在图3中：①∠MAN=60°，∠ABC+∠ADC=180°，则AB+AD=

 

AC；
②若∠MAN=α（0°＜α＜180°），∠ABC+∠ADC=180°，则AB+AD=

 

AC（用含α的三角函数表示），并给出证明．

Answer 1

分析：（1）由角平分线的性质可证∠ACB=∠ACD=30°，又由直角三角形的性质，得AB+AD=AC．
（2）根据角平分线的性质过点C分别作AM，AN的垂线，垂足分别为E，F，可证AE+AF=AC，只需证AB+AD=AE+AF即可，由△CED≌△CFB，即可得AB+AD=AE+AF．
（3）由（2）知ED=BF，AE=AF，在直角三角形AFC中，可求AB+AD=2cos

α

2

AC．

解答：（1）证明：∵AC平分∠MAN，∠MAN=120°，
∴∠CAB=∠CAD=60°，
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠ACB=∠ACD=30°，
∴AB=AD=

1

2

AC，
∴AB+AD=AC．

（2）解：成立．
证法一：如图，过点C分别作AM，AN的垂线，垂足分别为E，F，
∵AC平分∠MAN，
∴CE=CF，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDE=180°，
∴∠CDE=∠ABC，
∵∠CED=∠CFB=90°，
∴△CED≌△CFB，
∴ED=FB，
∴AB+AD=AF+BF+AE-ED=AF+AE，由（1）知AF+AE=AC，
∴AB+AD=AC，
证法二：如图，在AN上截取AG=AC，连接CG，
∵∠CAB=60°，AG=AC，∴∠AGC=60°，CG=AC=AG，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠CBG=180°，
∴∠CBG=∠ADC，
∴△CBG≌△CDA，
∴BG=AD，
∴AB+AD=AB+BG=AG=AC；

（3）证明：由（2）知，ED=BF，AE=AF，
在Rt△AFC中，cos∠CAF=

AF

AC

，
即cos

α

2

=

AF

AC

，
∴AF=ACcos

α

2

，
∴AB+AD=AF+BF+AE-ED=AF+AE=2AF=2cos

α

2

AC．
把α=60°，代入得AB+AD=

3

AC．

点评：本题综合考查了角平分线的性质，解直角三角形，以及由特殊到一般的情况．