Question

9．我们把分子为1的分数叫做理想分数，如$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$，…，任何一个理想分数都可以写成两个不同理想分数的和，如$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$；$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{12}$；$\frac{1}{4}=\frac{1}{5}+\frac{1}{20}$；$\frac{1}{5}$=$\frac{1}{6}+\frac{1}{30}$；根据对上述式子的观察，请你思考：如果理想分数$\frac{1}{n}$（n是不小于2的整数）=$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$，那么a+b=（n+1）²．（用含n的式子表示）

Answer 1

分析 根据题意，得出等号左边分母上的数比等号右边第一个分母上数大1，且这两个数分母上的数相乘等于最后一个数的分母，即可得出$\frac{1}{5}=\frac{1}{6}+\frac{1}{30}$，进而分析可得在$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$，有（2+1）²=3+6；在$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{12}$，有（3+1）²=4+12，进而得出a+b的值．

解答 解：∵$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$；$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{12}$；$\frac{1}{4}=\frac{1}{5}+\frac{1}{20}$=$\frac{1}{5}+\frac{1}{20}$，
∴$\frac{1}{5}=\frac{1}{6}+\frac{1}{30}$，
∵$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$，有（2+1）²=3+6；$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{12}$，有（3+1）²=4+12；
∴如果理想分数$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{a}$$+\frac{1}{b}$，那么a+b=（n+1）²．
故答案为：$\frac{1}{6}+\frac{1}{30}$；（n+1）²．

点评 本题主要考查了数字变化规律，培养学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，分析题意，找到规律，并进行推导得出答案是解答此题的关键．