Question

14．如图，⊙O的半径为2$\sqrt{3}$，OA，OB是⊙O的半径，点P是$\widehat{AB}$上任意一点，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，则EF的最大值为2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 延长PE、PF分别交圆于G、H，根据垂径定理得到PE=EG，PF=FH，得到EF=$\frac{1}{2}$GH，根据圆的最长的弦是直径解答即可．

解答 解：延长PE、PF分别交圆于G、H，
∵PE⊥OA、PF⊥OB，
∴PE=EG，PF=FH
∴EF是△PGH的中位线
∴EF=$\frac{1}{2}$GH
∵GH是⊙O的弦
∴GH的最大值为2OA=2$\sqrt{3}$×2=4$\sqrt{3}$，
∴EF的最大值为$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$．
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是垂径定理、三角形中位线定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．