Question

18．二次函数y=9x²-6ax+a²-2a-6，当-$\frac{1}{3}$≤x≤$\frac{1}{3}$时，y＞0恒成立，则实数a的取值范围为a＜-$\sqrt{5}$或a＞5．

Answer 1

分析 先求出该抛物线的对称轴，然后根据对称轴的位置即可求出a的取值范围．

解答 解：抛物线的对称轴为：x=$\frac{a}{3}$，
当$\frac{a}{3}$≤-$\frac{1}{3}$时，
即：a≤-1，
此时函数y在-$\frac{1}{3}$≤x≤$\frac{1}{3}$上，y随着x的增大而增大，
∴x=-$\frac{1}{3}$，y=a²-5＞0，
∴a＜-$\sqrt{5}$或a＞$\sqrt{5}$
∴a＜-$\sqrt{5}$
当-$\frac{1}{3}$＜$\frac{a}{3}$＜$\frac{1}{3}$时，
即：-1＜a＜1，
∴此时-$\frac{1}{3}$≤x≤$\frac{1}{3}$时，y＞0恒成立，只需要△＜0即可，
∴△36a²-36（a²-2a-6）＜0，
解得：a＜-3
∴此时a无解，此情况不存在；
当$\frac{a}{3}$≥$\frac{1}{3}$时，
即：a≥1，
此时函数y在-$\frac{1}{3}$≤x≤$\frac{1}{3}$上，y随着x的增大而减少，
∴x=$\frac{1}{3}$，y=a²-4a-5＞0，
∴a＜-1或a＞5
∴a＞5
综上所述，a＜-$\sqrt{5}$或a＞5时，-$\frac{1}{3}$≤x≤$\frac{1}{3}$时，y＞0恒成立，
故答案为：a＜-$\sqrt{5}$或a＞5

点评 本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象，本题属于中等题型．