Question

13．如图，正方形ABCD的顶点C在直线a上，且BM⊥直线a于M，DN⊥直线a于N 
（1）求证：MN=BM+DN；
（2）若点B，D到a的距离分别是1，2．求正方形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形的判定定理证得△BMC≌△NCD，得到MC=ND，BM=CN，即可得到结果；
（2）由（1）证得CM=DN=2，根据勾股定理求得BC即可求得结果．

解答 （1）证明：∵∠MBC+∠BCM=∠NCD+∠BCM=90°
∴∠MBC=∠NCD
又∵∠BMC=∠CND=90°，BC=CD
在△BMC与△NCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BMC=∠CND}\\{∠MBC=∠NCD}\\{BC=CD}\end{array}\right.$
∴△BMC≌△NCD（AAS），
∴MC=ND，BM=CN，
∴MN=CM+CN=DN+BM；

（2）由（1）证得CM=DN=2，
∴BC=$\sqrt{{1}^{2}{+2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴正方形ABCD的面积=BC²=${（\sqrt{5}）}^{2}$=5．

点评 本题考查勾股定理、正方形的性质以及三角形全等的判定与性质的应用．在证明三角形的全等时，要注意找准对应角．