Question

【题目】如图，直线与轴交于点，与轴交于点，过点的抛物线与轴的另一个交点为．

（1）求抛物线的解析式和点的坐标；

（2）是直线上方抛物线上一动点，交于.设，请求出的最大值和此时点的坐标；

（3）是轴上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得线段，若点恰好落在抛物线上，请直接写出此时点的坐标．

备用图

Answer 1

【答案】（1），点的坐标为；（2）的最大值为，此时；（3）(，)或(，)

【解析】

（1）把点B(3，0)代入先求得c的值，再求得点C的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式和点A的坐标；

（2）设点P的横坐标为，作轴于N，交BC于M，先用m表示出，再作于E，于F，得到，即，推出，得到，利用二次函数的性质即可求解；

（3）过M，E分别作轴，轴的垂线交于H，设点M的坐标为(，)，证得，得到点E的坐标为(，)，代入即可得n的值，即可求解．

（1）∵与轴交于点，与轴交于点C，

∴，解得，

∴，

∵抛物线经过点B，C，

∴

解得，

∴抛物线解析式为；

当时，，

解得：

∴点的坐标为；

（2）设点P的横坐标为，连接PC，PB，过P作轴于N，交BC于M，

由（1）知：直线的解析式为，

∴，

则，，

∴，

∴

，

连接AC，分别过A，P作于E，于F，

∴，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∵，

∴，

∴当时，的最大值为，此时；

（3）过M，E分别作轴，轴的垂线交于H，

∴∠H=90，∠MEH=∠OME，

根据旋转的性质知：∠CME=90，EM=MC，

∴∠CMO+∠OME=90，∠CMO+∠MCO=90，

∴∠MEH=∠MCO，

设点M的坐标为(，)，

根据题意将绕点逆时针旋转得线段，若点恰好落在抛物线上，

则点M在轴正半轴上，即，

在Rt△MEH和Rt△MCO中，

，

∴，

∴，，

∴点E的坐标为：(，)，

把代入E (，) 代入，

整理得：，

解得，.

∴点M的坐标为：(，)或(，).