Question

5．如图，在△ACB中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E为CB上一点，连结AE，过E作EF⊥AE，交AB于点F．
（1）求证：△AOC∽△EFB．
（2）当E为BC中点且BC=2AC，求$\frac{EF}{OE}$的值．

Answer 1

分析 （1）由∠ACB=90°，CD⊥AB于D，得到∠ACD+∠CAB=∠CAB+∠B=90°，求出∠ACD=∠B，由于∠CAE+∠AEC=∠AEC+∠FEB=90°，得到∠CAE=∠FEB，于是得到结论；
（2）由E为BC中点且BC=2AC，得到AC=CE=BE，由于△AOC∽△EFB，推出△ACO≌△BEF，得到AO=EF，过O作OH⊥CE于H，证得△OHE是等腰直角三角形，得到OH=HE由于tan∠B=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{1}{2}$，得到tan∠COH=$\frac{CH}{OH}$=$\frac{1}{2}$，通过$\frac{AO}{OE}=\frac{CH}{HE}=\frac{1}{2}$，于是得到结论

解答 （1）证明：∵∠ACB=90°，CD⊥AB于D，
∴∠ACD+∠CAB=∠CAB+∠B=90°，
∴∠ACD=∠B，
∵EF⊥AE，
∴∠CAE+∠AEC=∠AEC+∠FEB=90°，
∴∠CAE=∠FEB，
∴△AOC∽△EFB；

（2）解：∵E为BC中点且BC=2AC，
∴AC=CE=BE，
∵△AOC∽△EFB，
∴∠CAO=∠FEB，∠ACO=∠B，
在△ACO与△BEF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAO=∠FEB}\\{AC=BE}\\{∠ACD=∠B}\end{array}\right.$，
∴△ACO≌△BEF，
∴AO=EF，
过O作OH⊥CE于H，
∵∠ACE=90°，
∴OH∥AC，
∴△OHE是等腰直角三角形，
∴OH=HE，∴∠COH=∠B，
∵tan∠B=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠COH=$\frac{CH}{OH}$=$\frac{1}{2}$，
设CH=x，OH=EH=2x，
∴$\frac{AO}{OE}=\frac{CH}{HE}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{EF}{OE}$的值是$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握现实世界是解题的关键．