Question

19．某文具店购进A，B两种钢笔，若购进A种钢笔2支，B种钢笔3支，共需90元；购进A种钢笔3支，B种钢笔5支，共需145元．
（1）求A、B两种钢笔每支各多少元？
（2）若该文具店要购进A，B两种钢笔共90支，总费用不超过1588元，并且A种钢笔的数量少于B种钢笔的数量，那么该文具店有哪几种购买方案？
（3）文具店以每支30元的价格销售B种钢笔，很快销售一空，于是，文具店决定在进价不变的基础上再购进一批B种钢笔，涨价卖出，经统计，B种钢笔售价为30元时，每月可卖68支；每涨价1元，每月将少卖4支，设文具店将新购进的B种钢笔每支涨价a元（a为正整数），销售这批钢笔每月获利W元，试求W与a之间的函数关系式，并且求出B种铅笔销售单价定为多少元时，每月获利最大？最大利润是多少元？

Answer 1

分析 （1）设A种钢笔每只x元，B种钢笔每支y元，由题意得方程组即可解得答案；
（2）设购进A种钢笔每只z元，由题意得$\left\{\begin{array}{l}{15z+20（90-z）≤1588}\\{z＜90-z}\end{array}\right.$，求得42.4≤z＜45，由于z是整数，得到z=43，44于是得到共有两种方案：方案一：购进A种钢笔43支，购进B种钢笔47支，方案二：购进A种钢笔44只，购进B种钢笔46只，
（3）根据二次函数的解析式W=（30-20+a）（68-4a）=-4a²+28a+680=-4（a-$\frac{7}{2}$）²+729即可求得结果．

解答 解：（1）设A种钢笔每只x元，B种钢笔每支y元，
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{2x+3y=90}\\{3x+5y=145}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=15}\\{y=20}\end{array}\right.$，
答：A种钢笔每只15元，B种钢笔每支20元；

（2）设购进A种钢笔z支，
由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{15z+20（90-z）≤1588}\\{z＜90-z}\end{array}\right.$，
∴42.4≤z＜45，
∵z是整数
z=43，44，
∴90-z=47，或46；
∴共有两种方案：方案一：购进A种钢笔43支，购进B种钢笔47支，
方案二：购进A种钢笔44只，购进B种钢笔46只；

（3）W=（30-20+a）（68-4a）=-4a²+28a+680=-4（a-$\frac{7}{2}$）²+729，
∵-4＜0，∴W有最大值，∵a为正整数，
∴当a=3，或a=4时，W最大，
∴W_最大=-4×（3-$\frac{7}{2}$）²+729=728，30+a=33，或34；
答：B种铅笔销售单价定为33元或34元时，每月获利最大，最大利润是728元．

点评 此题主要考查了二次函数的应用，二元一次方程组和一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，找出等量关系，列出方程组和不等式．