Question

11．如图，D为△ABC的边BC上的一点，DE∥AB，DF∥AC，分别交AC，AB于点E，F，设△CDE，△BDF，四边形DEAF的面积分别为S₁，S₂，S₃，求证：S₃=2$\sqrt{{S}_{1}{S}_{2}}$．

Answer 1

分析 设BF=a，AF=b，DE与AB间的距离为h，根据已知条件得到四边形AFDE是平行四边形，∠CED=∠A=∠BFD，∠B=∠EDC，推出△CDE∽△DBF，AF=DE，根据相似三角形的性质得到$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=（$\frac{DE}{BF}$）²=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，由三角形的面积公式得到S₂=$\frac{1}{2}$ah，求出S₁=$\frac{{b}^{2}h}{2a}$，得到S₁S₂=$\frac{{b}^{2}{h}^{2}}{4}$，由平行四边形的面积公式得到S₃=bh，于是得到结论．

解答 证明：设BF=a，AF=b，DE与AB间的距离为h，
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AFDE是平行四边形，∠CED=∠A=∠BFD，∠B=∠EDC，
∴△CDE∽△DBF，AF=DE，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=（$\frac{DE}{BF}$）²=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
∵S₂=$\frac{1}{2}$ah，
∴S₁=$\frac{{b}^{2}h}{2a}$，
∴S₁S₂=$\frac{{b}^{2}{h}^{2}}{4}$，
∴bh=2$\sqrt{{S}_{1}{S}_{2}}$，
∵S₃=bh，
∴S₃=2$\sqrt{{S}_{1}{S}_{2}}$．

点评 本题考查了平行四边形、三角形的面积公式，平行四边形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．