Question

【题目】如图，等腰直角△OEF在坐标系中，有E(0，2)，F(﹣2，0)，将直角△OEF绕点E逆时针旋转90°得到△ADE，且A在第一象限内，抛物线y=ax2+bx+c经过点A，E．且2a+3b+5=0．

（1）求抛物线的解析式．

（2）过ED的中点O'作O'B⊥OE于B，O'C⊥OD于C，求证：OBO'C为正方形．

（3）如果点P由E开始沿EA边以每秒2厘米的速度向点A移动，同时点Q由点A沿AD边以每秒1厘米的速度向点D移动，当点P移动到点A时，P，Q两点同时停止，且过P作GP⊥AE，交DE于点G，设移动的开始后为t秒．

①若S=PQ2(厘米)，试写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围？

②当S取最小时，在抛物线上是否存在点R，使得以P，A，Q，R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）①S=5t2﹣8t+4(0＜t≤2)；②点R的坐标为：(，)或(，)．

【解析】

（1）根据题意结合旋转的性质得出A点坐标，再根据E点坐标得出c的值，最后进一步求解即可；

（2）根据题意先证明OBO'C为矩形，再利用三角形中位线性质结合题意得出O'B=OC'，据此进一步证明即可；

（3）根据题意列出关系式加以化简即可；②根据题意分AP是边时以及PA是对角线时两种情况进一步分析讨论即可．

（1）∵E、F坐标分别为：E(0，2)，F(﹣2，0)，

∴OF=OE=2，

根据旋转性质可得：AE=OE=2，AD=OF=2，

∴点A坐标为：(2，2)，

将点E的坐标代入抛物线表达式并整理得： c=2，

又∵A点坐标为：(2，2)，

∴4a+2b=0，

而2a+3b+5=0，

将上述二式联立并解得：a= ，b=-，

故抛物线的表达式为：；

（2）如图所示，

∵O'B⊥OE，O'C⊥OD，∠EOD=90°，故OBO'C为矩形，

又∵O'是ED的中点，O'B⊥OE，

则O'B=OD，

∵O'C⊥OD，

∴同理可得：O'C=OE，

∵OE=OD，

∴O'B=OC'

∴OBO'C为正方形；

（3）①点P、Q的坐标分别为：(2t，2)、(2，2﹣t)，

S=PQ2=(2t﹣2)2+(t)2=5t2﹣8t+4(0＜t≤2)；

②S=5t2﹣8t+4(0＜t≤2)；

∵5＞0，故S有最小值，此时t=，

则点P、Q的坐标分别为：(，2)、(2，)，而点A(2，2)，

设：点R(m，n)，n=m2﹣m+2；

(Ⅰ)当AP是边时，

点P向右平移个单位得到A，

同样点Q(R)向右平移个单位得到R(Q)，

即2=m，解得：m=或，

故点R(，)或(，)；

(Ⅱ)当PA是对角线时，

由中点公式得：2+=m+2，

解得：m=，故点R(，)；

综上，点R的坐标为：(，)或(，)．