Question

【题目】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，且AD=AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．

(1)求证：△ABC∽△FCD；

(2)过点A作AM⊥BC于点M，求DE：AM的值；

(3)若S△FCD=5，BC=10，求DE的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）利用D是BC边上的中点，DE⊥BC可以得到∠EBC=∠ECB，而由AD=AC可以得到∠ADC=∠ACD，再利用相似三角形的判定定理，就可以证明题目结论；

（2）根据相似三角形的性质和等腰三角形的性质定理，解答即可；

（3）利用相似三角形的性质就可以求出三角形ABC的面积，然后利用面积公式求出AM的值，结合，即可求解．

（1）∵D是BC边上的中点，DE⊥BC，

∴BD=DC，∠EDB=∠EDC=90°，

∵DE=DE，

∴△BDE≌△EDC（SAS），

∴∠B=∠DCE，

∵AD=AC，

∴∠ADC=∠ACB，

∴△ABC∽△FCD；

（2）∵AD=AC，AM⊥DC，

∴DM=DC，

∵BD=DC，

∴，

∵DE⊥BC，AM⊥BC，

∴DE∥AM，

∴．

（3）过点A作AM⊥BC，垂足是M，

∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，

∴，

∵S△FCD=5，

∴S△ABC=20，

又∵BC=10，

∴AM=4．

∵DE∥AM，

∴

∴，

∴DE=．