Question

5．如图，在正方形ABCD中，点P是AD边上的一个动点，连接PB，过点B作一条射线与边DC的延长线交于点Q，使得∠QBE=∠PBC，其中E是边AB延长线上的点，连接PQ．
（1）求证：△PBQ是等腰直角三角形；
（2）若PQ²=PB²+PD²+1，求△PAB的面积．

Answer 1

分析 （1）首先由∠QBE=∠PBC，∠QBE+∠QBC=90°易得△PAB与△QCB均为直角三角形，再证得△PAB≌△QCB，可得结论；
（2）由（1）可知QC=PA，设正方形的边长AB=a，PA=x，利用方程思想和勾股定理，等量代换易得ax，可得结果．

解答 （1）证明：∵∠QBE=∠PBC，∠QBE+∠QBC=90°，
∴∠PBQ=∠PBC+∠QBC=90°，
∵∠PBC+∠PBA=90°，
∴∠PBA=∠QBC，
在Rt△PAB和Rt△QCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠QCB}\\{AB=CB}\\{∠PBA=∠QBC}\end{array}\right.$，
∴△PAB≌△QCB（ASA），
∴PB=QB，
∴△PBQ是等腰直角三角形；

（2）解：设正方形的边长AB=a，PA=x，
∵△PAB≌△QCB，
∴QC=PA=x，
∴DQ=DC+QC=a+x，PD=AD-PA=a-x，
在Rt△PAB中，PB²=PA²+AB²=x²+a²，
∵PQ²=PB²+PD²+1，
∴（a-x）²+（a+x）²=x²+a²+（a-x）²+1，
解得：2ax=1，
∴ax=$\frac{1}{2}$，
∵△PAB的面积S=$\frac{1}{2}$PA•PB=$\frac{1}{2}$ax=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定及性质，正方形的性质，利用方程思想和勾股定理得出AB•PA是解答此题的关键．