Question

14．如图，四边形ABEG、GEFH、HFCD都是边长为a的正方形，△AEF与△CEA相似吗？为什么？

Answer 1

分析 由勾股定理求出AE，求出$\frac{AE}{EF}=\frac{EC}{AE}$，再由公共角∠AEF=∠CEA，即可得出△FEA∽△AEC．

解答 解：△AEF与△CEA相似；理由如下：
由勾股定理得：AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
∴$\frac{AE}{EF}=\frac{\sqrt{2}a}{a}$=$\sqrt{2}$，$\frac{EC}{AE}=\frac{2a}{\sqrt{2}a}$=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{AE}{EF}=\frac{EC}{AE}$，
又∵∠AEF=∠CEA，
∴△AEF∽△CEA．

点评 本题考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定；熟练掌握正方形的性质和相似三角形的判定方法，证明两边成比例是解决问题的关键．