Question

18．已知关于x的方程（x-3）（x-2）-p²=0．
（1）求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程两实数根分别为x₁，x₂，且满足x₁²+x₂²=3x₁x₂，求实数p的值．

Answer 1

分析 （1）化成一般形式，求根的判别式，当△＞0时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据根与系的关系求出两根和与两根积，再把${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=3{x}_{1}{x}_{2}$变形，化成和与乘积的形式，代入计算，得到一个关于p的一元二次方程，解方程．

解答 证明：（1）（x-3）（x-2）-p²=0，
x²-5x+6-p²=0，
△=（-5）²-4×1×（6-p²）=25-24+4p²=1+4p²，
∵无论p取何值时，总有4p²≥0，
∴1+4p²＞0，
∴无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；

（2）x₁+x₂=5，x₁x₂=6-p²，
∵x₁²+x₂²=3x₁x₂，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=3x₁x₂，
∴5²=5（6-p²），
∴p=±1．

点评 本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意熟记以下知识点：
（1）一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
（2）一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两实数根分别为x₁，x₂，则有${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{b}{a}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{c}{a}$．