Question

如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，∠ACB以及外角∠ACD的平分线分别交MN于点E、F．
（1）求证：OE=OF；
（2）当点O运动到AC边的什么位置时，四边形AECF是矩形？回答并证明你的结论．

Answer 1

考点：矩形的判定,等腰三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据平行线性质和角平分线性质，由平行线所夹的内错角相等证得即可；
（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，根据矩形的判定方法，即一个角是直角的平行四边形是矩形可证．

解答：证明（1）∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，
∴∠ACE=∠OEC，
∴OE=OC，
同理OF=OC，
∴OE=OF；

（2）当点O运动到AC边的中点时，四边形AECF是矩形．
证明：∵O为AC中点，
∴OA=OC，
又∵OE=OF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵OE=OC，
∴2OE=2OC，
即AC=EF．
∴□AECF为矩形．

点评：本题涉及矩形的判定定理，解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系，向“纵、横、深、广”拓展，从而寻找出添加的条件和所得的结论．