Question

如图，抛物线y=x²-

1

2

x-

3

2

与直线y=x-2交于A、B两点（点A在点B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．若使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为（　　）

• A、

  29

  2

• B、

  29

  3

• C、

  5

  2

• D、

  5

  3

Answer 1

分析：首先根据题意求得点A与B的坐标，求得抛物线的对称轴，然后作点A关于抛物线的对称轴x=

1

4

的对称点A′，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，则直线A′B′与直线x=

1

4

的交点是E，与x轴的交点是F，而且易得A′B′即是所求的长度．

解答：解：如图
∵抛物线y=x²-

1

2

x-

3

2

与直线y=x-2交于A、B两点，
∴x²-

1

2

x-

3

2

=x-2，
解得：x=1或x=

1

2

，
当x=1时，y=x-2=-1，
当x=

1

2

时，y=x-2=-

3

2

，
∴点A的坐标为（

1

2

，-

3

2

），点B的坐标为（1，-1），
∵抛物线对称轴方程为：x=-

- 1 2

2×1

=

1

4

作点A关于抛物线的对称轴x=

1

4

的对称点A′，作点B关于x轴的对称点B′，
连接A′B′，
则直线A′B′与对称轴（直线x=

1

4

）的交点是E，与x轴的交点是F，
∴BF=B′F，AE=A′E，
∴点P运动的最短总路径是AE+EF+FB=A′E+EF+FB′=A′B′，
延长BB′，AA′相交于C，
∴A′C=

1

4

+

1

4

+（1-

1

2

）=1，B′C=1+

3

2

=

5

2

，
∴A′B′=

A′C2+B′C2

=

29

2

．
∴点P运动的总路径的长为

29

2

．
故选A．

点评：此题考查了二次函数与一次函数的综合应用．注意找到点P运动的最短路径是解此题的关键，还要注意数形结合与方程思想的应用．