Question

4．已知关于x的函数y=（m+6）x²+2（m-1）x+m+1的图象与x轴总有交点．
（1）求m的取值范围；
（2）当函数图象与x轴的两交点的横坐标的倒数和等于-4时，求m的值．

Answer 1

分析 （1）分类讨论：当m+6=0时，即m=-6时，函数为一次函数；当m+6≠0时，即m≠-6，函数为二次函数，根据△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数得到4（m-1）²-4（m+6）（m+1）≥0，解得m≤-$\frac{5}{9}$，然后综合两种情况得到m的取值范围为m≤-$\frac{5}{9}$；
（2）设函数图象与x轴的两交点的横坐标分别为a、b，根据抛物线与x轴的交点问题和根与系数的关系得到a+b=-$\frac{2（m-1）}{m+6}$，ab=$\frac{m+1}{m+6}$，再利用$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=-4得$\frac{-2（m-1）}{m+1}$=-4，然后解方程即可得到m的值．

解答 解：（1）当m+6=0时，即m=-6时，函数解析式为y=-14x-5，此一次函数与x轴有一个交点；
当m+6≠0时，即m≠-6，函数为二次函数，当△≥0时，抛物线与x轴有交点，即4（m-1）²-4（m+6）（m+1）≥0，解得m≤-$\frac{5}{9}$，
综上所述，m的取值范围为m≤-$\frac{5}{9}$；
（2）设函数图象与x轴的两交点的横坐标分别为a、b，
则a+b=-$\frac{2（m-1）}{m+6}$，ab=$\frac{m+1}{m+6}$，
∵$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=-4，
∴$\frac{a+b}{ab}$=-4，
∴$\frac{-2（m-1）}{m+1}$=-4，
∴m=-3．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．从二次函数的交点式y=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常数，a≠0）可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x₁，0），（x₂，0）．也考查了根与系数的关系和分类讨论思想的应用．