Question

14．已知关于x的一元二次方程4x²+（4b-4）x+b²=0有两个不相等的实数根x₁和x₂，且x₁x₂≠0．
（1）求b的取值范围；
（2）否存在实数b，使得$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=1？若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据判别式的意义得到△=（4b-4）²-4•4b²＞0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-$\frac{4b-4}{4}$=1-b，x₁x₂=$\frac{{b}^{2}}{4}$，再由$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=1得到$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=1，则$\frac{1-b}{\frac{{b}^{2}}{4}}$=1，解得b₁=-2$\sqrt{2}$-2，b₂=2$\sqrt{2}$+2，然后根据（1）中b的范围可确定b的值．

解答 解：（1）△=（4b-4）²-4•4b²＞0，
所以b＜$\frac{1}{2}$；
（2）存在．
根据题意得x₁+x₂=-$\frac{4b-4}{4}$=1-b，x₁x₂=$\frac{{b}^{2}}{4}$，
∵$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=1，
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=1，
∴$\frac{1-b}{\frac{{b}^{2}}{4}}$=1，
整理得b²+4b-4=0，解得b₁=-2$\sqrt{2}$-2，b₂=2$\sqrt{2}$+2，
而b＜$\frac{1}{2}$，
∴b=-2$\sqrt{2}$-2．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判别式．